Геометрия. Справочная информация

Основные геометрические задачи при проектировании вечных двигателей — это определение длины границ различных фигур, их площадей и объёмов тел, а также «решение треугольников», т.е. вычисление неизвестных длин сторон и углов треугольников по известным параметрам для расчёта моментов сил.


Вычисление длины границ фигур
Вычисление площадей фигур и поверхностей тел
Вычисление объёмов тел
Решение треугольников

Вычисление длины границ фигур

Фигура Формула
Периметр прямоугольника высотой h и шириной w. L = 2 · (w + h)
Прямоугольный треугольник с катетами (взаимно перпендикулярными сторонами) a и b. L = a + b + √(a2 + b2), где √ — операция извлечения квадратного корня.
Произвольный треугольник со сторонами длиной a, b и с. L = a + b + c
Окружность радиусом R и диаметром D = 2 · R. L = 2 · π · R = π · D

Вычисление площадей фигур и поверхностей тел

Фигура (2D) или тело (3D) Формула
Прямоугольник высотой h и шириной w. S = w · h
Прямоугольный треугольник с катетами (взаимно перпендикулярными сторонами) a и b. S = (a · b) / 2
Треугольник со стороной a и высотой (перпендикуляром к этой стороне, проведённым из противоположного угла) h. S = (a · h) / 2
Круг радиусом R и диаметром D = 2 · R. S = π · R2 = π · D2/ 4
Поверхность параллелепипеда высотой h, шириной w и глубиной d. S = 2 · (w · h + w · d + h · d)
Поверхность сферы радиусом R и диаметром D = 2 · R. S = 4 · π · R2 = π · D2
Поверхность цилиндра радиусом R и высотой h. S = π · R2 + 2 · π · R · h = π · R · (R + 2 · h)

Вычисление объёмов тел

Тело Формула
Параллелепипед высотой h, шириной w и глубиной d. V = w · h · d
Сфера радиусом R и диаметром D = 2 · R. V = 4 · π · R3/ 3 = π · D3/ 6
Цилиндр радиусом R и высотой h. V = π · R2 · h

Решение треугольников

Под «решением треугольников» подразумевается вычисление неизвестных длин сторон и углов треугольников по известным параметрам. Наиболее актуально для расчёта плеч рычагов и моментов сил.

Задача Формула
Сумма внутренних углов треугольника. всегда α + β + γ = 180° = π (3.14159...) радиан
Длина c гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами (взаимно перпендикулярными сторонами) a и b. c2 = a2+ b2
Катет a прямоугольного треугольника по его гипотенузе c и углу между ними β. a = c · cos(β)
Катет a прямоугольного треугольника по его гипотенузе c и противоположному углу α. a = c · sin(α)
Вычисление длины стороны c произвольного треугольника по длинам двух других сторон a и b и углу между ними γ (противоположному c). c2 = a2+ b2– 2 · a · b · cos(γ)
теорема косинусов.
В любом треугольнике отношение длин сторон к синусам противолежащих им углов одинаково (на всякий случай подеркну: действует внутри одного треугольника, а не между разными треугольниками!). a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)
теорема синусов.
Вычисление стороны b по противоположному углу β, другой стороне a и углу между ними γ (через теорему синусов). b = sin(β) · a / sin(180°– (β + γ))
Вычисление угла γ между сторонами a и b по трём сторонам (через теорему косинусов). cos(γ) = (a2+ b2– c2) / (2 · a · b)

При решении треугольника произвольной формы целесообразно попытаться сначала свести его к двум прямоугольным треугольникам, разбив по любой из высот. Если ни одна из высот не известна, то тогда следует использовать формулы для произвольного треугольника. ♦

последняя правка 18.03.2010 21:52:34      В начало      На главную 
Hosted by uCoz