Геометрия. Справочная информация
Основные геометрические задачи при проектировании вечных двигателей — это определение длины границ различных фигур, их площадей и объёмов тел, а также «решение треугольников», т.е. вычисление неизвестных длин сторон и углов треугольников по известным параметрам для расчёта моментов сил.
Вычисление длины границ фигур
Вычисление площадей фигур и поверхностей тел
Вычисление объёмов тел
Решение треугольников
Вычисление длины границ фигур
|
Фигура
|
Формула
|
|
Периметр прямоугольника высотой h и шириной w.
|
L = 2 · (w + h)
|
|
Прямоугольный треугольник с катетами (взаимно перпендикулярными сторонами) a и b.
|
L = a + b + √(a2 + b2), где √ — операция извлечения квадратного корня.
|
|
Произвольный треугольник со сторонами длиной a, b и с.
|
L = a + b + c
|
|
Окружность радиусом R и диаметром D = 2 · R.
|
L = 2 · π · R = π · D
|
Вычисление площадей фигур и поверхностей тел
|
Фигура (2D) или тело (3D)
|
Формула
|
|
Прямоугольник высотой h и шириной w.
|
S = w · h
|
|
Прямоугольный треугольник с катетами (взаимно перпендикулярными сторонами) a и b.
|
S = (a · b) / 2
|
|
Треугольник со стороной a и высотой (перпендикуляром к этой стороне, проведённым из противоположного угла) h.
|
S = (a · h) / 2
|
|
Круг радиусом R и диаметром D = 2 · R.
|
S = π · R2 = π · D2/ 4
|
|
Поверхность параллелепипеда высотой h, шириной w и глубиной d.
|
S = 2 · (w · h + w · d + h · d)
|
|
Поверхность сферы радиусом R и диаметром D = 2 · R.
|
S = 4 · π · R2 = π · D2
|
|
Поверхность цилиндра радиусом R и высотой h.
|
S = π · R2 + 2 · π · R · h = π · R · (R + 2 · h)
|
Вычисление объёмов тел
|
Тело
|
Формула
|
|
Параллелепипед высотой h, шириной w и глубиной d.
|
V = w · h · d
|
|
Сфера радиусом R и диаметром D = 2 · R.
|
V = 4 · π · R3/ 3 = π · D3/ 6
|
|
Цилиндр радиусом R и высотой h.
|
V = π · R2 · h
|
Решение треугольников
Под «решением треугольников» подразумевается вычисление неизвестных длин сторон и углов треугольников по известным параметрам. Наиболее актуально для расчёта плеч рычагов и моментов сил.
|
Задача
|
Формула
|
|
Сумма внутренних углов треугольника.
|
всегда α + β + γ = 180° = π (3.14159...) радиан
|
|
Длина c гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами (взаимно перпендикулярными сторонами) a и b.
|
c2 = a2+ b2
|
|
Катет a прямоугольного треугольника по его гипотенузе c и углу между ними β.
|
a = c · cos(β)
|
|
Катет a прямоугольного треугольника по его гипотенузе c и противоположному углу α.
|
a = c · sin(α)
|
|
Вычисление длины стороны c произвольного треугольника по длинам двух других сторон a и b и углу между ними γ (противоположному c).
|
c2 = a2+ b2– 2 · a · b · cos(γ)
теорема косинусов.
|
|
В любом треугольнике отношение длин сторон к синусам противолежащих им углов одинаково (на всякий случай подеркну: действует внутри одного треугольника, а не между разными треугольниками!).
|
a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)
теорема синусов.
|
|
Вычисление стороны b по противоположному углу β, другой стороне a и углу между ними γ (через теорему синусов).
|
b = sin(β) · a / sin(180°– (β + γ))
|
|
Вычисление угла γ между сторонами a и b по трём сторонам (через теорему косинусов).
|
cos(γ) = (a2+ b2– c2) / (2 · a · b)
|
При решении треугольника произвольной формы целесообразно попытаться сначала свести его к двум прямоугольным треугольникам, разбив по любой из высот. Если ни одна из высот не известна, то тогда следует использовать формулы для произвольного треугольника.
♦
|
