Математический анализ. Справочная информация

Наиболее частое применение математического анализа в практических расчётах — это дифференцирование и интегрирование различных функций. Поэтому таблицы производных и первообразных (интегралов) стандартных функций лишними не будут.

Дифференцирование
   Основные правила дифференцирования
   Производные элементарных функций
      Производные простых функций
      Производные экспоненциальных и логарифмических функций
      Производные тригонометрических функций
      Производные гиперболических функций
Интегрирование
   Основные особенности интегрирования
   Первообразные стандартных функций
      Первообразные рациональных функций
      Первообразные экспоненциальных и логарифмических функций
      Первообразные иррациональных функций
      Первообразные тригонометрических функций
      Первообразные гиперболических функций

Дифференцирование

Суть операции дифференцирования математической функции заключается в вычислении отношения разности значений функции для двух значений аргумента, отличающихся на исчезающе малую величину, к разности этих самых значений аргументов. В соответствии с этим геометрический смысл операции дифференцирования — определение степени наклона графика функции при тех или иных значениях её аргумента, а физический смысл дифференцирования — определение скорости изменения (градиента) той или иной физической величины, закономерность изменения которой описывает дифференцируемая функция.

Математическая функция, описывающая скорость изменения дифференцируемой функции (наклон графика) в зависимости от значения её аргумента (аргументов) называется производной этой функции по соответствующей переменной (переменным) дифференцирования, а значение этой функции при определённом значении аргумента — производной функции в точке, соответствующей этому значению аргумента. Производную в точке можно вычислить не всегда. Например, в точках разрыва или «скачка» исходной функции производная неопределена (даже если обе границы разрыва имеют вполне определённые конечные величины, значение производной в этих точках устремляется к бесконечно большим величинам). С другой стороны, в точках экстремумов функции — перегиба её графика, где рост функции сменяется убыванием или наоборот, производная этой функции равна нулю. Таким образом, найдя производную функции, описывающей какой-либо процесс, и приравняв её к нулю, можно найти величину аргумента (воздействия на этот процесс), обеспечивающего максимальную пользу или минимальный вред от исследуемого процесса.

Основные правила дифференцирования

Здесь f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, a — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

(a · f)'   =   a · f'

(f + g)'   =   f' + g'

(f – g)'   =   f' – g'

(f · g)'   =   f' · g + f · g'   (правило Лейбница)

(f / g)'   =   (f' · g – f · g') / g2,   g ≠ 0

(fg)'   =   (eg · ln(f))'   =   fg · (f' · g / f + g' · ln(f)),   f > 0

(f o g)'   =   (f' o g) · g'   (правило дифференцирования сложной функции)

f'   =   (ln(f))' · f,   f > 0

Более подробно о дифференциальном исчислении можно посмотреть здесь.

Производные элементарных функций

В приведённых ниже формулах символом x обозначена переменная дифференцирования, символом a — произвольное постоянное число или коэффициент, а символом «n» — целочисленный показатель степени.

Производные простых функций

d/dx (a)   =   0

d/dx (x)   =   1

d/dx (a · x)   =   a

d/dx (|x|)   =   x / |x|   =   sgn(x),   x ≠ 0

d/dx (xa)   =   a · xa–1,   когда xa и xa–1 определены

d/dx (1/x)   =   d/dx (x–1)   =   –x–2   =   –1 / x2

d/dx (1 / xa)   =   d/dx (x–a)   =   –a / xa+1

d/dx (√(x))   =   d/dx (x1/2)   =   (1 / 2) · x–1/2   =   1 / (2 · √(x)),   x > 0

d/dx (n(x))   =   d/dx (x1/n)   =   (1 / n) · x–(n – 1) / n   =   1 / (n · n(x))

Производные экспоненциальных и логарифмических функций

d/dx (ax)   =   ax · ln(a),   a > 0

d/dx (ex)   =   ex

d/dx (ef(x))   =   f'(x) · ef(x)

d/dx (loga(x))   =   1 / (x · ln(a)),   a > 0, a ≠ 1

d/dx (ln(x))   =   1 / x

d/dx (xx)   =   xx · (1 + ln(x))

Производные тригонометрических функций

d/dx (sin(x))   =   cos(x)

d/dx (cos(x))   =   –sin(x)

d/dx (tg(x))   =   sec2(x)   =   1 / cos2(x)

d/dx (ctg(x))   =   –cosec2(x)   =   –1 / sin2(x)

d/dx (sec(x))   =   d/dx (1 / cos(x))   =   tg(x) · sec(x)   =   sin(x) / cos2(x)

d/dx (cosec(x))   =   d/dx (1 / sin(x))   =   –ctg(x) · cosec(x)   =   –cos(x) / sin2(x)

d/dx (arcsin(x))   =   1 / √(1 – x2)

d/dx (arccos(x))   =   –1 / √(1 – x2)

d/dx (arctg(x))   =   1 / (1 + x2)

d/dx (arcctg(x))   =   –1 / (1 + x2)

d/dx (arcsec(x))   =   1 / (|x| · √(x2 – 1))

d/dx (arccosec(x))   =   –1 / (|x| · √(x2 – 1))

Производные гиперболических функций

d/dx (sh(x))   =   ch(x)

d/dx (ch(x))   =   sh(x)

d/dx (th(x))   =   sech2(x)   =   1 / ch2(x)

d/dx (cth(x))   =   –csch2(x)   =   –1 / sh2(x)

d/dx (sech(x))   =   d/dx (1 / ch2(x))   =   –th(x) · sech(x)   =   –sh(x) / ch2(x)

d/dx (csch(x))   =   d/dx (1 / sh2(x))   =   –cth(x) · csch(x)   =   –ch(x) / sh2(x)

d/dx (arsh(x))   =   1 / √(1 + x2)

d/dx (arch(x))   =   1 / √(x2 – 1)

d/dx (arth(x))   =   1 / (1 – x2)

d/dx (arcth(x))   =   1 / (1 – x2)

d/dx (arsech(x))   =   1 / (x · √(1 – x2))

d/dx (arcsch(x))   =   –1 / (|x| · √(1 + x2))

Интегрирование

Суть операции интегрирования математической функции заключается в суммировании значений функции для множества значений её аргумента, нормированных к разности между этими значениями, причём соседние значения аргумента отличаются друг от друга на бесконечно малую величину и лежат в заданном диапазоне (области интегрирования). В соответствии с этим геометрический смысл операции интегрирования — определение площади между графиком интегрируемой функции и осью аргумента, а также вычисление площадей плоских фигур (интегрирование функций одного аргумента) и объёмов геометрических тел (интегрирование функций двух аргументов по обоим аргументам). Физический смысл интегрирования — определение промежуточного или общего (окончательного) результата протекания какого-либо процесса, описываемого интегрируемой функцией.

В практических инженерных и научных расчётах границы и начальные условия обычно известны, поэтому используется операция взятия определённых интегралов, имеющая результатом конкретное значение (число). Эта задача может быть решена численными методами, позволяющими получить результат и в некоторых случаях, недоступных для аналитического решения, в том числе при анализе нестационарных процессов.

В теоретических расчётах граничные условия в общем случае могут быть различными и заранее не определены, поэтому используется операция взятия неопределённых интегралов, имеющая результатом математическую функцию, называемую «первообразной». Эта задача решается только аналитическими методами и имеет решение далеко не всегда (существует обширный класс «неберущихся интегралов»). При подставлении в функцию первообразной значений аргумента, соответствующих началу и концу исследуемого процесса, получаем два числа — значения первообразной в начале и в конце процесса. Разность между этими конечным и начальным значениями интеграла соответствует результату протекания исследуемого процесса. Так выполняется взятие определённого интеграла аналитическим методом.

Основные особенности интегрирования

У каждой функции имеется бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга значением константы интегрирования. Эту константу можно вычислить, если известно значение первообразной в какой-нибудь точке. При практических расчётах константа интегрирования определяется на основании начальных условий рассчитываемого процесса (в учёте этих условий и заключается её физический смысл). Если достаточных данных для определения константы интегрирования нет, то её обычно принимают равной нулю. Также нет необходимости учитывать эту константу при взятии определённых интегралов, когда обе границы области интегрирования имеют конечные значения, поскольку она присутствует в обоих значениях и при их вычитании вычитается сама из себя.

Первообразные стандартных функций

Обширную подборку таблиц как берущихся, так и неберущихся интегралов можно посмотреть здесь.

В приведённых ниже формулах символом «x» обозначена переменная интегрирования, символом «a» — произвольное постоянное число или коэффициент, символом «b» — произвольное основание логарифма, символом «n» — целочисленный показатель степени, а символом «C» — константа интегрирования.

Первообразные рациональных функций

∫ 0 dx   =   C

∫ a dx   =   a · x + C

∫ xn dx   =   xn+1 / (n + 1) + C,   n ≠ –1

∫ (1 / x) dx   =   ln|x| + C

dx / (a2 + x2)   =   (1 / a) · arctg(x / a) + C

dx / (x2 – a2)   =   (1 / (2 · a)) · ln|(x – a) / (x + a)| + C

Первообразные экспоненциальных и логарифмических функций

∫ ln(x) dx   =   x · ln(x) – x + C   =   (x – 1) · ln(x) + C

∫ logb(x) dx   =   x · logb(x) – x · logb(e) + C   =   (x – logb(e)) · logb(x) + C

∫ ex dx   =   ex + C

∫ ax dx   =   ax / ln(a) + C

Первообразные иррациональных функций

dx / √(a2 – x2)   =   arcsin(x / a) + C

∫ –dx / √(a2 – x2)   =   arccos(x / a) + C

dx / (x2 · √(x2 – a2))   =   (1 / a) · arcsec(|x| / a) + C

dx / √(x2 ± a)   =   ln|x + √(x2 ± a)| + C

Первообразные тригонометрических функций

∫ sin(x) dx   =   –cos(x) + C

∫ cos(x) dx   =   sin(x) + C

∫ tg(x) dx   =   –ln|cos(x)| + C

∫ ctg(x) dx   =   ln|sin(x)| + C

∫ sec(x) dx   =   ∫ dx / cos(x)   =   ln|sec(x) + tg(x)| + C   =   ln|(1 + sin(x)) / cos(x)| + C

∫ cosec(x) dx   =   ∫ dx / sin(x)   =   –ln|cosec(x) + ctg(x)| + C   =   ln|(1 + cos(x)) / sin(x)| + C

∫ sec2(x) dx   =   ∫ dx / cos2(x)   =   tg(x) + C

∫ cosec2(x) dx   =   ∫ dx / sin2(x)   =   –ctg(x) + C

∫ sec(x) · tg(x) dx   =   ∫ (sin(x) / cos2(x)) dx   =   sec(x) + C   =   1 / cos(x) + C

∫ cosec(x) · ctg(x) dx   =   ∫ (cos(x) / sin2(x)) dx   =   –cosec(x) + C   =   1 / sin(x) + C

∫ sin2(x) dx   =   (x – sin(x) · cos(x)) / 2 + C

∫ cos2(x) dx   =   (x + sin(x) · cos(x)) / 2 + C

∫ arctg(x) dx   =   x · arctg(x) – ln(√(1 + x2)) + C

Первообразные гиперболических функций

∫ sh(x) dx   =   ch(x) + C

∫ ch(x) dx   =   sh(x) + C

∫ th(x) dx   =   ln|ch(x)| + C

∫ cth(x) dx   =   ln|sh(x)| + C

∫ sech(x) dx   =   ∫ dx / ch(x)   =   arctg(sh(x)) + C   =   2 · arctg(th(x / 2)) + C

∫ csch(x) dx   =   ∫ dx / sh(x)   =   ln|th(x / 2)| + C   =   2 · arctg(ex) + C


* * *

Выше приведён лишь самый минимум сведений по математическому анализу. При необходимости в более углублённых сведениях рекомендую посетить один из наиболее авторитетных проектов в Интернете, посвящённых всевозможным уравнениям, — EqWorld. ♦

последняя правка 14.03.2013 22:40:21      В начало      На главную